お届け可能日の指定ができないのに選択ボックス表示されるのがいやだったので、いつもカスタマイズしております。
Twigテンプレートに2行書き足すだけでカスタマイズできますので、EC-CUBE3をご利用の方はぜひお試しください。

Shopping/index.twigで上のようになっているのを下のコードに書き換えます。
if文を追加しただけですね。お届け日の候補の数をチェックして0なら表示しないようにしています。

お届け日の指定はできません的なメッセージを出すなら「else」で。

ただ、これだけでは注文メールには表示されてしまうので、そちらも消したい場合はMail/order.twigなどのカスタマイズが必要です。